Sie sind in Ihrem täglichen Leben wahrscheinlich hunderte Male auf einseitige Gegenstände gestoßen – wie die universelles Symbol für das Recycling, gedruckt auf der Rückseite von Aluminiumdosen und Plastikflaschen.

Diese mathematisches Objekt wird als Mobius-Streifen bezeichnet. Es fasziniert Umweltschützer, Künstler, Ingenieure, Mathematiker und viele andere seit seiner Entdeckung im Jahr 1858 durch August Möbius, einem deutschen Mathematiker, der am 26. September 1868 vor 150 Jahren starb.

Möbius entdeckte den einseitigen Streifen 1858 als Lehrstuhl für Astronomie und höhere Mechanik an der Universität Leipzig. (Ein anderer Mathematiker namens Listing beschrieb es tatsächlich einige Monate zuvor, veröffentlichte seine Arbeit jedoch erst 1861.) Möbius scheint auf den Möbius-Streifen gestoßen zu sein, als er an der geometrischen Theorie der Polyeder arbeitete, fester Figuren, die aus Scheitelpunkten, Kanten und flachen Flächen bestehen composed .





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Ein Möbius-Streifen kann erstellt werden, indem man einen Papierstreifen nimmt, ihm eine ungerade Anzahl von Halbdrehungen gibt und dann die Enden wieder zusammenklebt, um eine Schlaufe zu bilden. Wenn Sie einen Bleistift nehmen und eine Linie entlang der Mitte des Streifens zeichnen, werden Sie sehen, dass die Linie anscheinend an beiden Seiten der Schleife verläuft.

Das Konzept eines einseitigen Objekts inspirierte Künstler wie den niederländischen Grafikdesigner M. C. Escher , dessen Holzschnitt Möbius-Streifen II zeigt rote Ameisen, die nacheinander über einen Möbiusstreifen kriechen.



Der Möbiusstreifen hat mehr als nur eine überraschende Eigenschaft. Versuchen Sie zum Beispiel, eine Schere zu nehmen und den Streifen entlang der Linie, die Sie gerade gezeichnet haben, in zwei Hälften zu schneiden. Sie werden erstaunt sein, dass Ihnen nicht zwei kleinere einseitige Möbius-Streifen, sondern eine lange zweiseitige Schlaufe übrig bleiben. Wer kein Blatt Papier zur Hand hat, den Holzschnitt von Escher Möbius-Streifen I zeigt, was passiert, wenn ein Möbius-Streifen entlang seiner Mittellinie geschnitten wird.

Obwohl der Streifen sicherlich einen visuellen Reiz hat, hatte er seinen größten Einfluss in der Mathematik, wo er die Entwicklung eines ganzen Gebiets namens . vorangetrieben hat Topologie .

Ein Topologe untersucht Eigenschaften von Objekten, die beim Verschieben, Biegen, Strecken oder Verdrehen erhalten bleiben, ohne Teile zusammenzuschneiden oder zu verkleben. Zum Beispiel ist ein verheddertes Paar Ohrstöpsel in einem topologischen Sinne dasselbe wie ein nicht verheddertes Paar Ohrstöpsel, da das Wechseln ineinander nur bewegt, gebogen und verdreht werden muss. Es ist kein Schneiden oder Kleben erforderlich, um zwischen ihnen umzuwandeln.



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Ein weiteres Paar topologisch identischer Objekte sind eine Kaffeetasse und ein Donut. Da beide Objekte nur ein Loch haben, kann das eine durch Dehnen und Biegen in das andere verformt werden.

Kaffeetasse Donut

Eine Tasse verwandelt sich in einen Donut.(Wikimedia-Commons)

Die Anzahl der Löcher in einem Objekt ist eine Eigenschaft, die nur durch Schneiden oder Kleben verändert werden kann. Diese Eigenschaft, die als Gattung eines Objekts bezeichnet wird, erlaubt es uns zu sagen, dass ein Paar Ohrhörer und ein Donut topologisch unterschiedlich sind, da ein Donut ein Loch hat, während ein Paar Ohrhörer keine Löcher hat.

Leider scheinen ein Möbius-Streifen und eine zweiseitige Schlaufe, wie ein typisches Silikon-Awareness-Armband, beide ein Loch zu haben, sodass diese Eigenschaft nicht ausreicht, um sie voneinander zu unterscheiden – zumindest aus topologischer Sicht.

Stattdessen wird die Eigenschaft, die einen Möbius-Streifen von einer zweiseitigen Schleife unterscheidet, als Orientierungsfähigkeit bezeichnet. Die Orientierungsfähigkeit eines Objekts kann ebenso wie die Anzahl der Löcher nur durch Schneiden oder Kleben verändert werden.

Stellen Sie sich vor, Sie schreiben sich eine Notiz auf einer durchsichtigen Oberfläche und machen dann einen Spaziergang auf dieser Oberfläche. Die Oberfläche ist orientierbar, wenn Sie nach der Rückkehr von Ihrem Spaziergang immer die Notiz lesen können. Auf einer nicht orientierbaren Oberfläche kommen Sie vielleicht von Ihrem Spaziergang zurück und stellen fest, dass sich die von Ihnen geschriebenen Wörter scheinbar in ihr Spiegelbild verwandelt haben und nur von rechts nach links gelesen werden können. Auf der zweiseitigen Schleife wird der Zettel immer von links nach rechts gelesen, egal wohin Ihre Reise Sie geführt hat.

Da der Möbiusstreifen nicht orientierbar ist, während die zweiseitige Schleife orientierbar ist, bedeutet dies, dass der Möbiusstreifen und die zweiseitige Schleife topologisch unterschiedlich sind.

Möbius-Streifen-Animation

(Erstellt von David Gunderman)

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Wenn das GIF startet, sind die im Uhrzeigersinn aufgelisteten Punkte schwarz, blau und rot. Wir können die Drei-Punkte-Konfiguration jedoch um den Möbius-Streifen herum verschieben, sodass sich die Figur an der gleichen Stelle befindet, aber die Farben der im Uhrzeigersinn aufgeführten Punkte sind jetzt Rot, Blau und Schwarz. Irgendwie hat sich die Konfiguration in ihr eigenes Spiegelbild verwandelt, aber wir haben sie nur auf der Oberfläche verschoben. Diese Transformation ist auf einer orientierbaren Fläche wie der zweiseitigen Schleife nicht möglich.

Das Konzept der Orientierungsfähigkeit hat wichtige Implikationen. Nehmen Sie Enantiomere. Diese chemischen Verbindungen haben die gleichen chemischen Strukturen bis auf einen wesentlichen Unterschied: Sie sind Spiegelbilder voneinander. Beispielsweise, die Chemikalie L-Methamphetamin ist ein Inhaltsstoff in Vicks Dampfinhalatoren. Sein Spiegelbild, D-Methamphetamin, ist eine illegale Droge der Klasse A. Wenn wir in einer nicht orientierbaren Welt leben würden, wären diese Chemikalien nicht zu unterscheiden.

Die Entdeckung von August Möbius eröffnete neue Wege zur Erforschung der Natur. Das Studium der Topologie liefert weiterhin erstaunliche Ergebnisse. Zum Beispiel führte die Topologie letztes Jahr Wissenschaftler zu der Entdeckung seltsame neue Aggregatzustände . Die diesjährige Fields-Medaille, die höchste Auszeichnung in Mathematik, wurde Akshay Venkatesh verliehen , einem Mathematiker, der dazu beigetragen hat, die Topologie in andere Gebiete wie die Zahlentheorie zu integrieren.


Dieser Artikel wurde ursprünglich veröffentlicht auf Die Unterhaltung. Die Unterhaltung

David Gunderman, Ph.D. Student in Angewandter Mathematik, University of Colorado und Richard Gunderman, Kanzler-Professor für Medizin, Geisteswissenschaften und Philanthropie, Indiana University





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